Bayangkan jika Hukum Gauss Tidak Ada

Hukum Gauss memudahkan kita dalam menentukan medan listrik dari muatan-muatan listrik yang terdistribusi simetri. Hukum Gauss sendiri merupakan pengembangan dari Hukum Coulomb. Hukum Gauss menyatakan fluks listrik phi e pada permukaan tertutup sebanding dengan besarnya muatan q in yang berada di dalam permukaan tertutup tersebut. Pernyataan tersebut dapat diformulasikan sebagai berikut.

E merupakan vektor medan listrik, dA merupakan vektor elemen luas yang arahnya tegak lurus dengan bidang permukaan, dan eta o adalah tetapan permitivitas listrik di ruang hampa.

Dengan persamaan tersebut, kita dapat menentukan besar medan listrik dari muatan-muatan yang terdistribusi secara simetri. Contoh sederhananya adalah kita dapat menentukan besar medan listrik pada jarak a dari pusat bola bermuatan listrik yang muatan totalnya sebesar Q seperti pada gambar berikut.

Agar mempermudah perhitungan, kita memilih permukaan Gauss berupa kulit bola dengan jarak a dari pusat bola bermuatan listrik tersebut. Dengan demikian, kita memperoleh besar muatan di dalam permukaan Gauss, yaitu sebesar Q yang merupakan total muatan listrik pada bola bermuatan listrik. Kita juga dapat memperoleh luas permukaan Gauss, yaitu sebesar 4 pi a^2 karena permukaan gauss yang dipilih berbentuk kulit bola dengan jari-jari a. Seluruh garis medan listrik yang berasal dari bola bermuatan listrik menembus permukaan gauss secara tegak lurus seperti pada gambar berikut.

Artinya, vektor medan listrik sejajar dengan vektor permukaan gauss sehingga sudut yang dibentuk sebesar 0 derajat.

Berdasarkan hal tersebut, besar medan listrik E dapat ditentukan dengan mudah sebagai berikut.

Dengan Hukum Gauss, kita dapat menentukan besar medan listrik dengan mudah seperti pada contoh di atas. Pertanyaannya adalah bagaimana seandainya jika kita tidak mempunyai hukum Gauss, maksudnya, bayangkan jika hukum Gauss belum pernah ditemukan. Tentu saja kita masih dapat menentukan besar medan listrik juga karena pada dasarnya hukum Gauss merupakan pengembangan dari hukum Coulomb, seperti yang saya sebutkan di awal. Besar medan listrik dapat ditentukan dengan menggunakan prinsip superposisi, yaitu dengan menjumlahkan vektor-vektor medan listrik di titik yang akan ditentukan medan listriknya.

Pada pembahasan kali ini, kita akan mencoba menghitung medan listrik pada benda seperti pada contoh di atas, tetapi TANPA menggunakan hukum Gauss. Di sini kita akan melihat bahwa Hukum Gauss dapat memudahkan kita dari perhitungan-perhitungan yang cukup rumit sehingga pada akhirnya saya berharap kita dapat mensyukuri keberadaan hukum Gauss, wkwk. *OOT mode on*

Seperti yang saya sampaikan sebelumnya, kita akan menentukan besar medan listrik pada jarak a dari pusat bola bermuatan listrik yang total muatannya sebesar Q seperti pada gambar di bawah ini. Kita anggap jari-jari bola sebesar R.

Namun, sebelum menentukan kasus di atas, saya akan menentukan besar medan listrik dari benda-benda yang berbentuk lebih sederhana. Persamaan besar medan listrik yang diperoleh dari kasus-kasus yang lebih sederhana tersebut akan digunakan untuk menentukan kasus di atas.

Pertama, saya akan menentukan besar medan listrik dari benda bermuatan listrik q yang berbentuk cincin pada jarak a di sumbu pusat cincin seperti pada gambar di bawah ini. Muatan listrik terdistribusi merata pada benda tersebut. Jari-jari cincin tersebut sebesar r.

Awalnya kita meninjau medan listrik yang berasal dari segmen pada cincin dengan muatan dq. Kita dapat melihat bahwa besar proyeksi medan listrik yang tegak lurus sumbu x dari dua segmen yang saling berhadapan adalah nol. Hal itu karena proyeksi medan listrik tersebut saling berlawanan arah. Dengan demikian, kita cukup menentukan besar proyeksi medan listrik yang sejajar sumbu x saja.

Jarak antara segmen dengan titik yang akan ditentukan medan listriknya adalah.

Medan listrik di titik tersebut yang ditimbulkan oleh masing-masing segmen adalah.

k e merupakan tetapan Coulomb. Proyeksi medan listrik dEx yang sejajar sumbu x dapat dinyatakan sebagai berikut.

Berdasarkan gambar di atas, kita memperoleh

Dengan demikian,

Seluruh segmen memberikan medan listrik yang sama besar di titik yang akan ditentukan medan listriknya. Oleh karena itu nilai Ex dapat ditentukan dengan mudah.

Kasus selanjutnya adalah menentukan besar medan listrik dari benda bermuatan listrik q yang berbentuk cakram pada jarak a di sumbu pusat cakram dengan jari-jari R seperti pada gambar di bawah ini. Muatan listrik pada cakram ini terdistribusi secara merata dengan rapat muatan permukaan sigma.

Kita dapat memandang benda ini sebagai kumpulan dari benda-benda bermuatan listrik berbentuk cincin yang berjari-jari mulai dari nol sampai R. Dengan demikian, segmen dari benda tersebut dapat kita pilih sebagai cincin berjari-jari r, dengan 0 < r < R. Luas dari segmen cincin itu adalah.

Dengan demikian, muatan dari segmen cincin dapat diperoleh sebagai berikut.

Selanjutnya, kita dapat memperoleh besar medan listrik yang dihasilkan dari masing-masing segmen, yaitu sebesar persamaan medan listrik yang kita peroleh pada kasus benda cincin sebelumnya.

Akhirnya, kita dapat memperoleh besar medan listrik yang ditimbulkan dari benda berbentuk cakram tersebut pada jarak a di sumbu pusat cakram.

Persamaan di atas merupakan persamaan medan listrik dari benda cakram yang selanjutnya akan membantu kita dalam menentukan besar medan listrik dari benda berbentuk bola. Mari kita kembali lagi ke persoalan semula, yaitu menentukan besar medan listrik pada jarak a dari pusat bola bermuatan listrik yang total muatannya sebesar Q seperti pada gambar di bawah ini. Kita anggap jari-jari bola sebesar R. Anggap juga muatan listrik terdistribusi secara merata pada bola dengan rapat muatan per satuan volume senilai rho.

Kita dapat memandang benda ini sebagai kumpulan dari benda-benda bermuatan listrik berbentuk cakram yang berpusat di sumbu x. Oleh karena itu, kita akan menggunakan segmen berupa cakram yang berpusat di sumbu x dalam menentukan medan listrik dari bola bermuatan listrik tersebut. Dapat diperhatikan bahwa a lebih besar dari R. Hal ini merupakan hal penting dalam proses perhitungan nanti. Selain itu, kita juga dapat memperhatikan bahwa jari-jari cakram r bergantung terhadap x. Hubungan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.

Hal lain yang dapat kita amati adalah jarak antara segmen cakram dan titik yang akan ditentukan medan listriknya, yaitu sebesar a – x. Rapat muatan permukaan persatuan luas cakram sigma dapat dikaitkan dengan rapat muatan persatuan volume cakram rho.

Dengan menggunakan persamaan besar medan listrik pada kasus cakram dan menyesuaikannya dengan kasus bola bermuatan listrik ini, kita dapat menentukan besar medan listrik dari masing-masing segmen yang berbentuk cakram pada bola bermuatan listrik ini.

Akhirnya, kita dapat menentukan besar medan listrik E dengan mengintegralkannya dari -R sampai R.

Namun, sayangnya hasil integral ini tidak dapat dibuat oleh Wolfram Alpha (time-out). Mungkin, ini karena pernyataan kita di awal bahwa nilai a lebih besar daripada R dan fakta ini cukup penting untuk menyelesaikan integral ini. Jadi, saya terpaksa menghitungnya secara manual. Silakan di-scroll langsung ke hasilnya jika ingin mengabaikan perhitungan menjijikkan ini. Sebenernya, ini yang membuat saya membenci matematika, wkwk. *OOT mode on* *curhat mode on*

Ayo kita selesaikan integralnya satu persatu!

Untuk menghemat waktu dan tenaga, saya lebih baik menggunakan metode tanzalin atau tabulasi untuk menyelesaikan integral pada bagian terakhir daripada menggunakan rumus integral parsial biasa.

Kita telah menyelesaikan seluruh integralnya. Sekarang saatnya kembali ke persamaan medan listriknya.

Kita tahu bahwa

sehingga

Berdasarkan definisinya,

sehingga pada akhirnya,

Hasil ini sama persis dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan Hukum Gauss. Perjalanan kita tidak sia-sia!

Jadi, begitulah kehebatan hukum Gauss. Hukum Gauss dapat mempersingkat proses perhitungan yang cukup panjang. Bayangkan jika tidak ada hukum Gauss, untuk menghitung benda yang sangat simetris seperti bola saja sudah cukup rumit, apa lagi untuk menghitung benda-benda lainnya, ga kebayang susahnya! Akhir kata, pesan saya adalah jangan pernah mengeluh apabila kita mempelajari suatu hukum, teorema, maupun teori karena sulitnya untuk dimengerti. Kita harus merasa beruntung, jika tidak, bisa jadi apa yang kita pelajari bakal menjadi lebih sulit lagi karena ketiadaan hukum, teorema, atau teori tersebut. Tetap semangat!

Advertisements

Make Everyone Happy? – The Second Wave

I am eager to make everyone happy. However, I don’t know why I would be like that. Making someone happy doesn’t affect me much, does it? So, why? Why do I feel like I am happy when everyone is happy? It is a fake feeling, right? In fact, I need to suffer to make someone happy. It must be a natural law that the one I could make happy is actually myself. I’ve acknowledged this since the very beginning, but I still do something for people’s sake. Even though, I’ve also known that it is difficult to meet everyone demands at the same time – really difficult to be honest.

Now, the second wave is coming. In this new chapter, I begin to do something for my very own sake. I need to strengthen my identity. I need to put less care about people beside me. I am going to live my own life – being the one I particularly want. So, get ready!

Teori Gasing (Spinning Top)

Yosh, akhirnya saya kembali nge-post lagi. Pos kali ini cukup serius, jadi simak baik-baik ya.

Mengapa gasing tidak jatuh ketika berotasi?

Pada saat gasing tepat ingin jatuh, terdapat torsi T (baca: tau) yang arahnya seperti pada gambar berikut.

Ketika berotasi, gasing memiliki momentum sudut L.

Torsi T mengakibatkan perubahan momentum sudut delta L.

Perubahan momentum sudut delta L dapat diilustrasikan sebagai berikut.

Perubahan momentum sudut tersebut menyebabkan gasing tidak jatuh, melainkan sumbu gasing berputar terhadap garis vertikal.

Apa yang terjadi ketika gasing jatuh?

Gasing jatuh karena momentum sudutnya (L) bernilai nol. Momentum sudut L berubah menjadi nol karena perubahan momentum sudut delta L. Kesimpulannya, perputaran gasing dapat dibuat menjadi lama dengan:
– memperbesar momentum sudut L
– memperkecil perubahan momentum sudut delta L

Memperbesar momentum sudut L

Ketika gasing dengan momen inersia I berputar dengan kecepatan sudut w (baca: omega), gasing memiliki momentum sudut

Jadi, memperbesar momentum sudut dapat dilakukan dengan dua cara:
– memperbesar momen inersia I
– memperbesar kecepatan sudut w

Momen inersia I bergantung terhadap jarak dan massa elemen benda terhadap sumbu putar gasing. Hubungan tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut.

Kecepatan sudut w dapat diperbesar dengan memberi kecepatan sudut yang besar pada gasing pada saat awal pemutarannya.

Memperkecil perubahan momentum sudut

Sebelumnya, persamaan berikut diperoleh dengan mengabaikan gaya gesek yang terjadi selama gasing berputar.

Jadi, perubahan momentum sudut delta L dapat diperkecil dengan cara:
– memperkecil massa gasing m
– memperkecil percepatan gravitasi g
– memperkecil x (jarak antara ujung bawah gasing dan pusat massa gasing)
– memperkecil theta (sudut yang dibentuk sumbu gasing dan garis vertikal)

Sebelumnya, untuk memperbesar momentum sudut L diperlukan momen inersia I (perkalian jarak dan massa elemen benda terhadap sumbu putar) yang besar. Di sisi lain, untuk memperkecil perubahan momentum sudut delta L diperlukan massa yang kecil. Jadi, terdapat suatu massa gasing yang mengoptimalkan momentum sudut L dan perubahan momentum sudut delta L. Hal ini dibahas akan dibahas lebih lanjut di bagian berikutnya.

Nilai x dapat diperkecil dengan cara membuat pusat massa gasing dekat dengan ujung bawah gasing. Namun, hal tersebut justru memudahkan gasing menyentuh lantai. Gasing yang menyentuh lantai menyebabkan gaya gesek antara gasing dan lantai yang mengakibatkan gasing berhenti berputar. Oleh sebab itu, terdapat nilai x yang mengoptimalkan lama pemutaran gasing. Hal tersebut tidak dibahas di sini (karena saya gak tahu cara merumuskannya, hehe >,<).

Nilai theta dapat diperkecil dengan cara membuat gasing tepat berdiri tegak pada saat awal pemutaran gasing.

Putting it all together

Dengan menghubungkan seluruh faktor tersebut, saya mencoba mengilustrasikan bentuk gasing dan cara pemutaran gasing agar memperoleh waktu putar yang lama.

Bentuk gasing

Gasing sengaja dibuat pipih untuk memperbesar momen inersia I. Hal itu berdasarkan rumus momen inersia

I dapat diperbesar dengan memperbesar jarak elemen benda dari sumbu putar gasing.

Meskipun terdapat massa optimal gasing (massa yang tidak terlalu besar atau kecil), saya pikir gasing dapat berputar lama jika massanya besar karena momentum sudutĀ (L’) setelah delta t didapat dari

Dimisalkan bentuk gasing tersebut momen inersianya I = a m R^2, dengan a (baca: alfa) adalah konstanta dan R adalah jari-jari terbesar lempeng gasing, maka persamaan tersebut menjadi

Dari persamaan tersebut, tampak bahwa m yang besar menyebabkan L’ yang besar juga sehingga butuh waktu lama untuk membuat L’ menjadi nol (berhenti berputar).

Lempengan gasing sengaja dibuat mendekati bagian bawah gasing agar nilai x kecil sehingga delta L kecil juga. Bagian lempeng bawah gasing sengaja dibuat seperti selimut kerucut agar lempeng gasing tidak mudah bersentuhan dengan lantai sehingga tidak menimbulkan gesekan antara lempeng gasing dengan lantai.

Cara pemutaran gasing

Dengan mengacu pada faktor-faktor sebelumnya, maka cara pemutaran gasing agar gasing dapat berputar lama adalah sebagai berikut.
– Kecepatan sudut awal putaran gasing w dibuat menjadi besar. Artinya, gasing diputar dengan cepat sewaktu ditembakkan.
– Sudut theta antara sumbu putar gasing dan garis vertikal dibuat menjadi kecil. Artinya, gasing sebaiknya tepat berdiri tegak pada saat ditembakkan

Saya hanya membual dari tadi, ya kan?

Suatu teori dikatakan baik apabila teori tersebut dapat dibuktikan dengan eksperimen. Oleh karena itu, saya mencoba untuk membuktikan teori di atas berdasarkan hasil pengamatan. Pengamatannya diambil dari video slow motion giroskop di Youtube. Hal yang diamati adalah kecepatan sudut wp dari sumbu putar giroskop yang pusatnya berupa garis vertikal.

Benda yang diamati berupa giroskop, bukannya gasing, karena giroskop dan gasing bekerja dengan prinsip yang sama, yaitu momentum sudut. Saya lebih memilih mengamati giroskop karena bagian bawah giroskop tetap berada di posisinya sehingga gerakan sumbu putarnya lebih mudah diamati.

Yang menyebabkan memutarnya sumbu putar giroskop terhadap garis vertikal yaitu perubahan momentum sudut – sama seperti pada gasing.

Dari ilustrasi di atas, didapat persamaan untuk perubahan sudut putar delta phi dari sumbu gasing terhadap garis vertikal. Jika delta phi sangat kecil, diperoleh

Sehingga,

Menurut penjelasan sebelumnya, waktu berputar lebih lama atau dengan kata lain gasing berputar lebih stabil apabila delta L diperkecil dan L diperbesar. Jika dikaitkan dengan wp, gasing yang lebih stabil akan memiliki wp yang kecil.

Dari video ini:

Gyroscope in Slow Motion

diperoleh data berikut.

Data tersebut merupakan selang waktu satu putaran dari sumbu giroskop terhadap garis vertikal. Terlihat bahwa selang waktu putaran cenderung mengecil. Artinya, wp dari giroskop tersebut cenderung semakin membesar. Kita mengetahui bahwa gerakan giroskop tersebut semakin lama semakin tidak stabil. Kesimpulan dari pengamatan ini adalah semakin tidak stabil giroskop, maka wp semakin membesar. Hal ini sesuai dengan implikasi dari teori sebelumnya yang menyatakan gasing yang lebih stabil akan memiliki wp yang kecil