Teori Gasing (Spinning Top)

Yosh, akhirnya saya kembali nge-post lagi. Pos kali ini cukup serius, jadi simak baik-baik ya.

Mengapa gasing tidak jatuh ketika berotasi?

Pada saat gasing tepat ingin jatuh, terdapat torsi T (baca: tau) yang arahnya seperti pada gambar berikut.

Ketika berotasi, gasing memiliki momentum sudut L.

Torsi T mengakibatkan perubahan momentum sudut delta L.

Perubahan momentum sudut delta L dapat diilustrasikan sebagai berikut.

Perubahan momentum sudut tersebut menyebabkan gasing tidak jatuh, melainkan sumbu gasing berputar terhadap garis vertikal.

Apa yang terjadi ketika gasing jatuh?

Gasing jatuh karena momentum sudutnya (L) bernilai nol. Momentum sudut L berubah menjadi nol karena perubahan momentum sudut delta L. Kesimpulannya, perputaran gasing dapat dibuat menjadi lama dengan:
– memperbesar momentum sudut L
– memperkecil perubahan momentum sudut delta L

Memperbesar momentum sudut L

Ketika gasing dengan momen inersia I berputar dengan kecepatan sudut w (baca: omega), gasing memiliki momentum sudut

Jadi, memperbesar momentum sudut dapat dilakukan dengan dua cara:
– memperbesar momen inersia I
– memperbesar kecepatan sudut w

Momen inersia I bergantung terhadap jarak dan massa elemen benda terhadap sumbu putar gasing. Hubungan tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut.

Kecepatan sudut w dapat diperbesar dengan memberi kecepatan sudut yang besar pada gasing pada saat awal pemutarannya.

Memperkecil perubahan momentum sudut

Sebelumnya, persamaan berikut diperoleh dengan mengabaikan gaya gesek yang terjadi selama gasing berputar.

Jadi, perubahan momentum sudut delta L dapat diperkecil dengan cara:
– memperkecil massa gasing m
– memperkecil percepatan gravitasi g
– memperkecil x (jarak antara ujung bawah gasing dan pusat massa gasing)
– memperkecil theta (sudut yang dibentuk sumbu gasing dan garis vertikal)

Sebelumnya, untuk memperbesar momentum sudut L diperlukan momen inersia I (perkalian jarak dan massa elemen benda terhadap sumbu putar) yang besar. Di sisi lain, untuk memperkecil perubahan momentum sudut delta L diperlukan massa yang kecil. Jadi, terdapat suatu massa gasing yang mengoptimalkan momentum sudut L dan perubahan momentum sudut delta L. Hal ini dibahas akan dibahas lebih lanjut di bagian berikutnya.

Nilai x dapat diperkecil dengan cara membuat pusat massa gasing dekat dengan ujung bawah gasing. Namun, hal tersebut justru memudahkan gasing menyentuh lantai. Gasing yang menyentuh lantai menyebabkan gaya gesek antara gasing dan lantai yang mengakibatkan gasing berhenti berputar. Oleh sebab itu, terdapat nilai x yang mengoptimalkan lama pemutaran gasing. Hal tersebut tidak dibahas di sini (karena saya gak tahu cara merumuskannya, hehe >,<).

Nilai theta dapat diperkecil dengan cara membuat gasing tepat berdiri tegak pada saat awal pemutaran gasing.

Putting it all together

Dengan menghubungkan seluruh faktor tersebut, saya mencoba mengilustrasikan bentuk gasing dan cara pemutaran gasing agar memperoleh waktu putar yang lama.

Bentuk gasing

Gasing sengaja dibuat pipih untuk memperbesar momen inersia I. Hal itu berdasarkan rumus momen inersia

I dapat diperbesar dengan memperbesar jarak elemen benda dari sumbu putar gasing.

Meskipun terdapat massa optimal gasing (massa yang tidak terlalu besar atau kecil), saya pikir gasing dapat berputar lama jika massanya besar karena momentum sudut (L’) setelah delta t didapat dari

Dimisalkan bentuk gasing tersebut momen inersianya I = a m R^2, dengan a (baca: alfa) adalah konstanta dan R adalah jari-jari terbesar lempeng gasing, maka persamaan tersebut menjadi

Dari persamaan tersebut, tampak bahwa m yang besar menyebabkan L’ yang besar juga sehingga butuh waktu lama untuk membuat L’ menjadi nol (berhenti berputar).

Lempengan gasing sengaja dibuat mendekati bagian bawah gasing agar nilai x kecil sehingga delta L kecil juga. Bagian lempeng bawah gasing sengaja dibuat seperti selimut kerucut agar lempeng gasing tidak mudah bersentuhan dengan lantai sehingga tidak menimbulkan gesekan antara lempeng gasing dengan lantai.

Cara pemutaran gasing

Dengan mengacu pada faktor-faktor sebelumnya, maka cara pemutaran gasing agar gasing dapat berputar lama adalah sebagai berikut.
– Kecepatan sudut awal putaran gasing w dibuat menjadi besar. Artinya, gasing diputar dengan cepat sewaktu ditembakkan.
– Sudut theta antara sumbu putar gasing dan garis vertikal dibuat menjadi kecil. Artinya, gasing sebaiknya tepat berdiri tegak pada saat ditembakkan

Saya hanya membual dari tadi, ya kan?

Suatu teori dikatakan baik apabila teori tersebut dapat dibuktikan dengan eksperimen. Oleh karena itu, saya mencoba untuk membuktikan teori di atas berdasarkan hasil pengamatan. Pengamatannya diambil dari video slow motion giroskop di Youtube. Hal yang diamati adalah kecepatan sudut wp dari sumbu putar giroskop yang pusatnya berupa garis vertikal.

Benda yang diamati berupa giroskop, bukannya gasing, karena giroskop dan gasing bekerja dengan prinsip yang sama, yaitu momentum sudut. Saya lebih memilih mengamati giroskop karena bagian bawah giroskop tetap berada di posisinya sehingga gerakan sumbu putarnya lebih mudah diamati.

Yang menyebabkan memutarnya sumbu putar giroskop terhadap garis vertikal yaitu perubahan momentum sudut – sama seperti pada gasing.

Dari ilustrasi di atas, didapat persamaan untuk perubahan sudut putar delta phi dari sumbu gasing terhadap garis vertikal. Jika delta phi sangat kecil, diperoleh

Sehingga,

Menurut penjelasan sebelumnya, waktu berputar lebih lama atau dengan kata lain gasing berputar lebih stabil apabila delta L diperkecil dan L diperbesar. Jika dikaitkan dengan wp, gasing yang lebih stabil akan memiliki wp yang kecil.

Dari video ini:

Gyroscope in Slow Motion

diperoleh data berikut.

Data tersebut merupakan selang waktu satu putaran dari sumbu giroskop terhadap garis vertikal. Terlihat bahwa selang waktu putaran cenderung mengecil. Artinya, wp dari giroskop tersebut cenderung semakin membesar. Kita mengetahui bahwa gerakan giroskop tersebut semakin lama semakin tidak stabil. Kesimpulan dari pengamatan ini adalah semakin tidak stabil giroskop, maka wp semakin membesar. Hal ini sesuai dengan implikasi dari teori sebelumnya yang menyatakan gasing yang lebih stabil akan memiliki wp yang kecil

Advertisements

Pendalaman Efek Doppler

Rumus Umum
catatan :
fp : frekuensi di titik pengamatan
v : cepat rampat gelombang
vp : kecepatan gerak pengamat
vm : kecepatan gerak medium perambatan
vs : kecepatan gerak sumber gelombang
f : frekuensi asal
– tanda operasi bagian atas digunakan jika benda mendekat
– tanda operasi bagian bawah digunakan jika benda menjauh

Tentu kita sudah tidak asing lagi dengan rumus di atas. Rumus di atas merupakan rumus umum dalam kasus “Efek Doppler”, yaitu gejala tentang perubahan frekuensi gelombang yang diamati di titik pengamatan. Perubahan frekuensi tersebut diakibatkan oleh pergerakan pengamat, sumber gelombang, atau medium perambatan. Contohnya, kita akan mendengar gemuruh yang kuat apabila pesawat bergerak mendekati kita, tetapi gemuruh menjadi tidak kuat ketika pesawat bergerak menjauhi kita. Penggunaan rumus tersebut disesuaikan dengan kasus yang dialami. Contohnya, kasusnya adalah gelombang yang dipancarkan ketika sumber gelombang diam dan pengamat bergerak mendekati sumber gelombang. Maka, kita dapat membuat rumusnya menjadi
Rumus I
Pada bagian pembilang pecahan, tanda operasi di bagian atas adalah tanda “+“, sedangkan tanda operasi di bagian bawah adalah tanda ““. Jika pengamat mendekat, maka yang kita gunakan adalah tanda operasi pada bagian atas, yaitu +vp.

Contoh lainnya, kasusnya adalah gelombang yang dipancarkan ketika pengamat bergerak menjauhi sumber gelombang, medium perambatan bergerak mendekati pengamat, dan sumber gelombang bergerak menjauhi pengamat. Maka, kita dapat membuat rumusnya menjadi
Rumus II
Pada bagian pembilang pecahan, tanda operasi di bagian atas adalah tanda “+“, sedangkan tanda operasi di bagian bawah adalah tanda ““. Jika pengamat menjauhi sumber gelombang, maka kita gunakan tanda operasi pada bagian bawah, yaitu -vp. Jika medium perambatan mendekati pengamat, maka kita gunakan tanda operasi pada bagian atas, yaitu +vm. Pada bagian penyebut pecahan, tanda operasi di bagian atas adalah tanda ““, sedangkan tanda operasi di bagian bawah adalah tanda “+“. Jika sumber gelombang menjauhi pengamat, maka kita gunakan tanda operasi pada bagian bawah, yaitu +vs.

Terlepas dari itu semua, mungkin timbul pertanyaan dari mana rumus itu berasal atau mengapa peraturan tanda operasinya seperti yang demikian. Hal tersebut didasari oleh penurunan rumus berdasarkan efek Doppler. Untuk menurunkan rumus umum tersebut, kita perlu meninjau kasusnya satu per satu.

Kasus I : Sumber Gelombang Diam dan Pengamat Diam

Pada kasus ini, cepat rambat gelombang tetap dan panjang gelombang juga tetap. Sehingga, frekuensi di titik pengamatan tidak mengalami perubahan.

Kasus II : Sumber Gelombang Diam dan Pengamat Mendekati Sumber Gelombang
Kasus II
Jika pengamat mendekati sumber gelombang, maka periode gelombang di titik pengamatan menjadi lebih cepat. Misalkan periode asal gelombang T, maka periode gelombang di titik pengamatan T’, dengan T'<T. Hal itu dikarenakan untuk menempuh satu panjang gelombang, tidak hanya ditempuh oleh perambatan gelombang (misalkan cepat rambat gelombang adalah v, maka jarak yang ditempuh oleh perambatan gelombang adalah vT’), tetapi juga ditempuh oleh pengamat yang mendekati sumber gelombang (misalkan kecepatan gerak pengamat adalah u, maka jarak yang ditempuh oleh pengamat adalah uT’). Sehingga
Rumus III
Kita mengetahui bahwa
Rumus IV
Sehingga persamaan sebelumnya dapat kita ubah menjadi
Rumus V
Jika kita sesuaikan simbol hurufnya dengan rumus umumnya, kita akan mendapatkan
Rumus VI

Kasus III : Sumber Gelombang Diam dan Pengamat Menjauhi Sumber Gelombang
Kasus III
Jika pengamat menjauhi sumber gelombang, maka periode gelombang di titik pengamatan menjadi lebih lama. Misalkan periode asal gelombang T, maka periode gelombang di titik pengamatan T’, dengan T’>T. Dalam kasus ini, panjang gelombang didapat dari selisih jarak yang ditempuh oleh perambatan gelombang (vT’) dengan jarak yang ditempuh oleh pengamat (uT’). Sehingga
Rumus VII
Kita mengetahui bahwa
Rumus VIII
Sehingga persamaan sebelumnya dapat kita ubah menjadi
Rumus IX
Jika kita sesuaikan simbol hurufnya dengan rumus umumnya, kita akan mendapatkan
Rumus X

Kasus IV : Sumber Gelombang Mendekati Pengamat dan Pengamat Diam
Kasus IV
Seperti pada gambar di atas, panjang gelombang di titik pengamatan menjadi lebih pendek dari panjang gelombang aslinya (ditunjukkan oleh muka gelombang yang semakin merapat di dekat titik pengamatan). Mengapa bisa demikian? Berikut penjelasannya
(i) Sumber gelombang mengeluarkan muka gelombang pertama ketika sumber gelombang mendekati pengamat dengan kecepatan w.
(ii) Setelah sumber gelombang menempuh jarak wT mendekati pengamat, sumber gelombang mengeluarkan muka gelombang kedua.
Artinya, jarak antara muka gelombang pertama dan kedua (panjang gelombang) menjadi lebih dekat yang diakibatkan dari sumber gelombang yang bergerak mendekati pengamat. Kita dapat menyatakannya secara matematis
Rumus XI
Kita mengetahui bahwa
Rumus XII
Sehingga persamaan sebelumnya dapat kita ubah menjadi
Rumus XIII
Jika kita sesuaikan simbol hurufnya dengan rumus umumnya, kita akan mendapatkan
Rumus XIV

Kasus V : Sumber Gelombang Menjauhi Pengamat dan Pengamat Diam
Kasus V
Seperti pada gambar di atas, panjang gelombang di titik pengamatan menjadi lebih panjang dari panjang gelombang aslinya (ditunjukkan oleh muka gelombang yang semakin merenggang di dekat titik pengamatan). Mengapa bisa demikian? Berikut penjelasannya
(i) Sumber gelombang mengeluarkan muka gelombang pertama ketika sumber gelombang menjauhi pengamat dengan kecepatan w.
(ii) Setelah sumber gelombang menempuh jarak wT menjauhi pengamat, sumber gelombang mengeluarkan muka gelombang kedua.
Artinya, jarak antara muka gelombang pertama dan kedua (panjang gelombang) menjadi lebih jauh yang diakibatkan dari sumber gelombang yang bergerak menjauhi pengamat. Kita dapat menyatakannya secara matematis
Rumus XV
Kita mengetahui bahwa
Rumus XVI
Sehingga persamaan sebelumnya dapat kita ubah menjadi
Rumus XVII
Jika kita sesuaikan simbol hurufnya dengan rumus umumnya, kita akan mendapatkan
Rumus XVIII

Kasus VI : Sumber Gelombang Diam, Pengamat Diam, dan Medium Perambatan Bergerak Mendekati Pengamat
Contoh dari medium perambatannya misalnya udara yang bergerak mendekati pengamat. Kecepatan dari medium perambatan (misalkan o) yang mendekati pengamat membuat periode gelombang menjadi lebih singkat (misalkan T’). Hal ini dikarenakan kecepatan total gelombang merupakan penjumlahan dari cepat rambat gelombang yang sebenarnya dengan kecepatan gerak medium perambatan. Jika ditulis dalam bentuk matematika
Rumus XIX
Kita mengetahui bahwa
Rumus XX
Sehingga persamaan sebelumnya dapat kita ubah menjadi
Rumus XXI
Jika kita sesuaikan simbol hurufnya dengan rumus umumnya, kita akan mendapatkan
Rumus XXII

Kasus VII : Sumber Gelombang Diam, Pengamat Diam, dan Medium Perambatan Bergerak Menjauhi Pengamat
Kecepatan dari medium perambatan (misalkan o) yang menjauhi pengamat membuat periode gelombang menjadi lebih lama (misalkan T’). Hal ini dikarenakan kecepatan total gelombang merupakan selisih dari cepat rambat gelombang yang sebenarnya dengan kecepatan gerak medium perambatan. Jika ditulis dalam bentuk matematika
Rumus XXIII
Kita mengetahui bahwa
Rumus XXIV
Sehingga persamaan sebelumnya dapat kita ubah menjadi
Rumus XXV
Jika kita sesuaikan simbol hurufnya dengan rumus umumnya, kita akan mendapatkan
Rumus XXVI

Penutup
Jika kita menggabungkan kasus-kasus di atas, maka kita akan mendapatkan rumus umum untuk efek Doppler seperti yang di awal penulisan.

Efek Doppler pada Gelombang Elektromagnetik
Sejauh ini, kita hanya membahas efek Doppler pada gelombang mekanik, yaitu gelombang yang memerlukan medium dalam perambatannya. Namun, bagaimana dengan efek Doppler pada gelombang elektromagnetik? Cepat rambat dari gelombang elektromagnetik di ruang hampa adalah c, sekitar 3 x 10^8 m/s. Efek Doppler pada gelombang elektromagnetik tidak dipengaruhi oleh gerak pengamat. Artinya, kita tidak memberlakukan konsep gerak relatif. Misalnya, gelombang elektromagnetik merambat dengan kecepatan c dan pengamat bergerak mendekati sumber gelombang elektromagnetik dengan kecepatan 0,9c. Maka, cepat rambat gelombang elektromagnetik dari sudut pandang pengamat tetap c, bukan 1,9c. Jadi, rumus efek Doppler untuk gelombang elektromagnetik adalah
Rumus XXVII
Jika kecepatan gerak sumber gelombang sangat kecil dibandingkan cepat rambat gelombang, maka kita dapat melakukan pendekatan sebagai berikut
Rumus XXVIII
Dengan demikian, diperoleh
Rumus XXIX
Dari persamaan ini, diperoleh pergeseran frekuensi gelombang
Rumus XXX

Temperature Change Unit

Temperature change, that can be increase or decrease, is defined as the difference between final temperature and initial temperature. Hence, we have different rules when we deal with converting temperature change unit from them with only converting the temperature unit. To illustrate, an object which the initial temperature is 25°C is heated. After a minute, its temperature become 30°C. Our task is to find the temperature change in Fahrenheit unit.

Here is the step :
1. Convert the initial temperature into Fahnrenheit.
25°C = (25/5 x 9 + 32) °F = 77°F
2. Convert the final temperature into Fahrenheit.
30°C = (30/5 x 9 + 32) °F = 86°F
3. Subtract the final temperature by the initial temperature. The result shows the change of temperature in Fahrenheit unit.
86°F – 77°F = 9°F

Notice that we would have had a different result if we changed the way like the step below :
1. At first, substract the final temperature by the initial temperature.
30°C – 25°C = 5°C
2. Convert the result from step 1 into Fahrenheit unit. If you think it is the answer, IT IS WRONG.
5°C = (5/5 x 9 + 32) °F = 41°F

Once again, look at step 2 from the wrong way. If we don’t add 32 (just 5/5 x 9), we will have the right answer (9°F). In brief, when we deal with converting temperature change unit, we just look the ratio of each unit.
Celcius : Fahrenheit : Reamur : Kelvin = 5 : 9 : 4 : 5

For the example, the temperature of a particle rise 18°F. Find the temperature increase in Kelvin unit.
18°F = 18/9 x 5 = 10 K