Bayangkan jika Hukum Gauss Tidak Ada

Hukum Gauss memudahkan kita dalam menentukan medan listrik dari muatan-muatan listrik yang terdistribusi simetri. Hukum Gauss sendiri merupakan pengembangan dari Hukum Coulomb. Hukum Gauss menyatakan fluks listrik phi e pada permukaan tertutup sebanding dengan besarnya muatan q in yang berada di dalam permukaan tertutup tersebut. Pernyataan tersebut dapat diformulasikan sebagai berikut.

E merupakan vektor medan listrik, dA merupakan vektor elemen luas yang arahnya tegak lurus dengan bidang permukaan, dan eta o adalah tetapan permitivitas listrik di ruang hampa.

Dengan persamaan tersebut, kita dapat menentukan besar medan listrik dari muatan-muatan yang terdistribusi secara simetri. Contoh sederhananya adalah kita dapat menentukan besar medan listrik pada jarak a dari pusat bola bermuatan listrik yang muatan totalnya sebesar Q seperti pada gambar berikut.

Agar mempermudah perhitungan, kita memilih permukaan Gauss berupa kulit bola dengan jarak a dari pusat bola bermuatan listrik tersebut. Dengan demikian, kita memperoleh besar muatan di dalam permukaan Gauss, yaitu sebesar Q yang merupakan total muatan listrik pada bola bermuatan listrik. Kita juga dapat memperoleh luas permukaan Gauss, yaitu sebesar 4 pi a^2 karena permukaan gauss yang dipilih berbentuk kulit bola dengan jari-jari a. Seluruh garis medan listrik yang berasal dari bola bermuatan listrik menembus permukaan gauss secara tegak lurus seperti pada gambar berikut.

Artinya, vektor medan listrik sejajar dengan vektor permukaan gauss sehingga sudut yang dibentuk sebesar 0 derajat.

Berdasarkan hal tersebut, besar medan listrik E dapat ditentukan dengan mudah sebagai berikut.

Dengan Hukum Gauss, kita dapat menentukan besar medan listrik dengan mudah seperti pada contoh di atas. Pertanyaannya adalah bagaimana seandainya jika kita tidak mempunyai hukum Gauss, maksudnya, bayangkan jika hukum Gauss belum pernah ditemukan. Tentu saja kita masih dapat menentukan besar medan listrik juga karena pada dasarnya hukum Gauss merupakan pengembangan dari hukum Coulomb, seperti yang saya sebutkan di awal. Besar medan listrik dapat ditentukan dengan menggunakan prinsip superposisi, yaitu dengan menjumlahkan vektor-vektor medan listrik di titik yang akan ditentukan medan listriknya.

Pada pembahasan kali ini, kita akan mencoba menghitung medan listrik pada benda seperti pada contoh di atas, tetapi TANPA menggunakan hukum Gauss. Di sini kita akan melihat bahwa Hukum Gauss dapat memudahkan kita dari perhitungan-perhitungan yang cukup rumit sehingga pada akhirnya saya berharap kita dapat mensyukuri keberadaan hukum Gauss, wkwk. *OOT mode on*

Seperti yang saya sampaikan sebelumnya, kita akan menentukan besar medan listrik pada jarak a dari pusat bola bermuatan listrik yang total muatannya sebesar Q seperti pada gambar di bawah ini. Kita anggap jari-jari bola sebesar R.

Namun, sebelum menentukan kasus di atas, saya akan menentukan besar medan listrik dari benda-benda yang berbentuk lebih sederhana. Persamaan besar medan listrik yang diperoleh dari kasus-kasus yang lebih sederhana tersebut akan digunakan untuk menentukan kasus di atas.

Pertama, saya akan menentukan besar medan listrik dari benda bermuatan listrik q yang berbentuk cincin pada jarak a di sumbu pusat cincin seperti pada gambar di bawah ini. Muatan listrik terdistribusi merata pada benda tersebut. Jari-jari cincin tersebut sebesar r.

Awalnya kita meninjau medan listrik yang berasal dari segmen pada cincin dengan muatan dq. Kita dapat melihat bahwa besar proyeksi medan listrik yang tegak lurus sumbu x dari dua segmen yang saling berhadapan adalah nol. Hal itu karena proyeksi medan listrik tersebut saling berlawanan arah. Dengan demikian, kita cukup menentukan besar proyeksi medan listrik yang sejajar sumbu x saja.

Jarak antara segmen dengan titik yang akan ditentukan medan listriknya adalah.

Medan listrik di titik tersebut yang ditimbulkan oleh masing-masing segmen adalah.

k e merupakan tetapan Coulomb. Proyeksi medan listrik dEx yang sejajar sumbu x dapat dinyatakan sebagai berikut.

Berdasarkan gambar di atas, kita memperoleh

Dengan demikian,

Seluruh segmen memberikan medan listrik yang sama besar di titik yang akan ditentukan medan listriknya. Oleh karena itu nilai Ex dapat ditentukan dengan mudah.

Kasus selanjutnya adalah menentukan besar medan listrik dari benda bermuatan listrik q yang berbentuk cakram pada jarak a di sumbu pusat cakram dengan jari-jari R seperti pada gambar di bawah ini. Muatan listrik pada cakram ini terdistribusi secara merata dengan rapat muatan permukaan sigma.

Kita dapat memandang benda ini sebagai kumpulan dari benda-benda bermuatan listrik berbentuk cincin yang berjari-jari mulai dari nol sampai R. Dengan demikian, segmen dari benda tersebut dapat kita pilih sebagai cincin berjari-jari r, dengan 0 < r < R. Luas dari segmen cincin itu adalah.

Dengan demikian, muatan dari segmen cincin dapat diperoleh sebagai berikut.

Selanjutnya, kita dapat memperoleh besar medan listrik yang dihasilkan dari masing-masing segmen, yaitu sebesar persamaan medan listrik yang kita peroleh pada kasus benda cincin sebelumnya.

Akhirnya, kita dapat memperoleh besar medan listrik yang ditimbulkan dari benda berbentuk cakram tersebut pada jarak a di sumbu pusat cakram.

Persamaan di atas merupakan persamaan medan listrik dari benda cakram yang selanjutnya akan membantu kita dalam menentukan besar medan listrik dari benda berbentuk bola. Mari kita kembali lagi ke persoalan semula, yaitu menentukan besar medan listrik pada jarak a dari pusat bola bermuatan listrik yang total muatannya sebesar Q seperti pada gambar di bawah ini. Kita anggap jari-jari bola sebesar R. Anggap juga muatan listrik terdistribusi secara merata pada bola dengan rapat muatan per satuan volume senilai rho.

Kita dapat memandang benda ini sebagai kumpulan dari benda-benda bermuatan listrik berbentuk cakram yang berpusat di sumbu x. Oleh karena itu, kita akan menggunakan segmen berupa cakram yang berpusat di sumbu x dalam menentukan medan listrik dari bola bermuatan listrik tersebut. Dapat diperhatikan bahwa a lebih besar dari R. Hal ini merupakan hal penting dalam proses perhitungan nanti. Selain itu, kita juga dapat memperhatikan bahwa jari-jari cakram r bergantung terhadap x. Hubungan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.

Hal lain yang dapat kita amati adalah jarak antara segmen cakram dan titik yang akan ditentukan medan listriknya, yaitu sebesar a – x. Rapat muatan permukaan persatuan luas cakram sigma dapat dikaitkan dengan rapat muatan persatuan volume cakram rho.

Dengan menggunakan persamaan besar medan listrik pada kasus cakram dan menyesuaikannya dengan kasus bola bermuatan listrik ini, kita dapat menentukan besar medan listrik dari masing-masing segmen yang berbentuk cakram pada bola bermuatan listrik ini.

Akhirnya, kita dapat menentukan besar medan listrik E dengan mengintegralkannya dari -R sampai R.

Namun, sayangnya hasil integral ini tidak dapat dibuat oleh Wolfram Alpha (time-out). Mungkin, ini karena pernyataan kita di awal bahwa nilai a lebih besar daripada R dan fakta ini cukup penting untuk menyelesaikan integral ini. Jadi, saya terpaksa menghitungnya secara manual. Silakan di-scroll langsung ke hasilnya jika ingin mengabaikan perhitungan menjijikkan ini. Sebenernya, ini yang membuat saya membenci matematika, wkwk. *OOT mode on* *curhat mode on*

Ayo kita selesaikan integralnya satu persatu!

Untuk menghemat waktu dan tenaga, saya lebih baik menggunakan metode tanzalin atau tabulasi untuk menyelesaikan integral pada bagian terakhir daripada menggunakan rumus integral parsial biasa.

Kita telah menyelesaikan seluruh integralnya. Sekarang saatnya kembali ke persamaan medan listriknya.

Kita tahu bahwa

sehingga

Berdasarkan definisinya,

sehingga pada akhirnya,

Hasil ini sama persis dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan Hukum Gauss. Perjalanan kita tidak sia-sia!

Jadi, begitulah kehebatan hukum Gauss. Hukum Gauss dapat mempersingkat proses perhitungan yang cukup panjang. Bayangkan jika tidak ada hukum Gauss, untuk menghitung benda yang sangat simetris seperti bola saja sudah cukup rumit, apa lagi untuk menghitung benda-benda lainnya, ga kebayang susahnya! Akhir kata, pesan saya adalah jangan pernah mengeluh apabila kita mempelajari suatu hukum, teorema, maupun teori karena sulitnya untuk dimengerti. Kita harus merasa beruntung, jika tidak, bisa jadi apa yang kita pelajari bakal menjadi lebih sulit lagi karena ketiadaan hukum, teorema, atau teori tersebut. Tetap semangat!

Advertisements

Pendalaman Efek Doppler

Rumus Umum
catatan :
fp : frekuensi di titik pengamatan
v : cepat rampat gelombang
vp : kecepatan gerak pengamat
vm : kecepatan gerak medium perambatan
vs : kecepatan gerak sumber gelombang
f : frekuensi asal
– tanda operasi bagian atas digunakan jika benda mendekat
– tanda operasi bagian bawah digunakan jika benda menjauh

Tentu kita sudah tidak asing lagi dengan rumus di atas. Rumus di atas merupakan rumus umum dalam kasus “Efek Doppler”, yaitu gejala tentang perubahan frekuensi gelombang yang diamati di titik pengamatan. Perubahan frekuensi tersebut diakibatkan oleh pergerakan pengamat, sumber gelombang, atau medium perambatan. Contohnya, kita akan mendengar gemuruh yang kuat apabila pesawat bergerak mendekati kita, tetapi gemuruh menjadi tidak kuat ketika pesawat bergerak menjauhi kita. Penggunaan rumus tersebut disesuaikan dengan kasus yang dialami. Contohnya, kasusnya adalah gelombang yang dipancarkan ketika sumber gelombang diam dan pengamat bergerak mendekati sumber gelombang. Maka, kita dapat membuat rumusnya menjadi
Rumus I
Pada bagian pembilang pecahan, tanda operasi di bagian atas adalah tanda “+“, sedangkan tanda operasi di bagian bawah adalah tanda ““. Jika pengamat mendekat, maka yang kita gunakan adalah tanda operasi pada bagian atas, yaitu +vp.

Contoh lainnya, kasusnya adalah gelombang yang dipancarkan ketika pengamat bergerak menjauhi sumber gelombang, medium perambatan bergerak mendekati pengamat, dan sumber gelombang bergerak menjauhi pengamat. Maka, kita dapat membuat rumusnya menjadi
Rumus II
Pada bagian pembilang pecahan, tanda operasi di bagian atas adalah tanda “+“, sedangkan tanda operasi di bagian bawah adalah tanda ““. Jika pengamat menjauhi sumber gelombang, maka kita gunakan tanda operasi pada bagian bawah, yaitu -vp. Jika medium perambatan mendekati pengamat, maka kita gunakan tanda operasi pada bagian atas, yaitu +vm. Pada bagian penyebut pecahan, tanda operasi di bagian atas adalah tanda ““, sedangkan tanda operasi di bagian bawah adalah tanda “+“. Jika sumber gelombang menjauhi pengamat, maka kita gunakan tanda operasi pada bagian bawah, yaitu +vs.

Terlepas dari itu semua, mungkin timbul pertanyaan dari mana rumus itu berasal atau mengapa peraturan tanda operasinya seperti yang demikian. Hal tersebut didasari oleh penurunan rumus berdasarkan efek Doppler. Untuk menurunkan rumus umum tersebut, kita perlu meninjau kasusnya satu per satu.

Kasus I : Sumber Gelombang Diam dan Pengamat Diam

Pada kasus ini, cepat rambat gelombang tetap dan panjang gelombang juga tetap. Sehingga, frekuensi di titik pengamatan tidak mengalami perubahan.

Kasus II : Sumber Gelombang Diam dan Pengamat Mendekati Sumber Gelombang
Kasus II
Jika pengamat mendekati sumber gelombang, maka periode gelombang di titik pengamatan menjadi lebih cepat. Misalkan periode asal gelombang T, maka periode gelombang di titik pengamatan T’, dengan T'<T. Hal itu dikarenakan untuk menempuh satu panjang gelombang, tidak hanya ditempuh oleh perambatan gelombang (misalkan cepat rambat gelombang adalah v, maka jarak yang ditempuh oleh perambatan gelombang adalah vT’), tetapi juga ditempuh oleh pengamat yang mendekati sumber gelombang (misalkan kecepatan gerak pengamat adalah u, maka jarak yang ditempuh oleh pengamat adalah uT’). Sehingga
Rumus III
Kita mengetahui bahwa
Rumus IV
Sehingga persamaan sebelumnya dapat kita ubah menjadi
Rumus V
Jika kita sesuaikan simbol hurufnya dengan rumus umumnya, kita akan mendapatkan
Rumus VI

Kasus III : Sumber Gelombang Diam dan Pengamat Menjauhi Sumber Gelombang
Kasus III
Jika pengamat menjauhi sumber gelombang, maka periode gelombang di titik pengamatan menjadi lebih lama. Misalkan periode asal gelombang T, maka periode gelombang di titik pengamatan T’, dengan T’>T. Dalam kasus ini, panjang gelombang didapat dari selisih jarak yang ditempuh oleh perambatan gelombang (vT’) dengan jarak yang ditempuh oleh pengamat (uT’). Sehingga
Rumus VII
Kita mengetahui bahwa
Rumus VIII
Sehingga persamaan sebelumnya dapat kita ubah menjadi
Rumus IX
Jika kita sesuaikan simbol hurufnya dengan rumus umumnya, kita akan mendapatkan
Rumus X

Kasus IV : Sumber Gelombang Mendekati Pengamat dan Pengamat Diam
Kasus IV
Seperti pada gambar di atas, panjang gelombang di titik pengamatan menjadi lebih pendek dari panjang gelombang aslinya (ditunjukkan oleh muka gelombang yang semakin merapat di dekat titik pengamatan). Mengapa bisa demikian? Berikut penjelasannya
(i) Sumber gelombang mengeluarkan muka gelombang pertama ketika sumber gelombang mendekati pengamat dengan kecepatan w.
(ii) Setelah sumber gelombang menempuh jarak wT mendekati pengamat, sumber gelombang mengeluarkan muka gelombang kedua.
Artinya, jarak antara muka gelombang pertama dan kedua (panjang gelombang) menjadi lebih dekat yang diakibatkan dari sumber gelombang yang bergerak mendekati pengamat. Kita dapat menyatakannya secara matematis
Rumus XI
Kita mengetahui bahwa
Rumus XII
Sehingga persamaan sebelumnya dapat kita ubah menjadi
Rumus XIII
Jika kita sesuaikan simbol hurufnya dengan rumus umumnya, kita akan mendapatkan
Rumus XIV

Kasus V : Sumber Gelombang Menjauhi Pengamat dan Pengamat Diam
Kasus V
Seperti pada gambar di atas, panjang gelombang di titik pengamatan menjadi lebih panjang dari panjang gelombang aslinya (ditunjukkan oleh muka gelombang yang semakin merenggang di dekat titik pengamatan). Mengapa bisa demikian? Berikut penjelasannya
(i) Sumber gelombang mengeluarkan muka gelombang pertama ketika sumber gelombang menjauhi pengamat dengan kecepatan w.
(ii) Setelah sumber gelombang menempuh jarak wT menjauhi pengamat, sumber gelombang mengeluarkan muka gelombang kedua.
Artinya, jarak antara muka gelombang pertama dan kedua (panjang gelombang) menjadi lebih jauh yang diakibatkan dari sumber gelombang yang bergerak menjauhi pengamat. Kita dapat menyatakannya secara matematis
Rumus XV
Kita mengetahui bahwa
Rumus XVI
Sehingga persamaan sebelumnya dapat kita ubah menjadi
Rumus XVII
Jika kita sesuaikan simbol hurufnya dengan rumus umumnya, kita akan mendapatkan
Rumus XVIII

Kasus VI : Sumber Gelombang Diam, Pengamat Diam, dan Medium Perambatan Bergerak Mendekati Pengamat
Contoh dari medium perambatannya misalnya udara yang bergerak mendekati pengamat. Kecepatan dari medium perambatan (misalkan o) yang mendekati pengamat membuat periode gelombang menjadi lebih singkat (misalkan T’). Hal ini dikarenakan kecepatan total gelombang merupakan penjumlahan dari cepat rambat gelombang yang sebenarnya dengan kecepatan gerak medium perambatan. Jika ditulis dalam bentuk matematika
Rumus XIX
Kita mengetahui bahwa
Rumus XX
Sehingga persamaan sebelumnya dapat kita ubah menjadi
Rumus XXI
Jika kita sesuaikan simbol hurufnya dengan rumus umumnya, kita akan mendapatkan
Rumus XXII

Kasus VII : Sumber Gelombang Diam, Pengamat Diam, dan Medium Perambatan Bergerak Menjauhi Pengamat
Kecepatan dari medium perambatan (misalkan o) yang menjauhi pengamat membuat periode gelombang menjadi lebih lama (misalkan T’). Hal ini dikarenakan kecepatan total gelombang merupakan selisih dari cepat rambat gelombang yang sebenarnya dengan kecepatan gerak medium perambatan. Jika ditulis dalam bentuk matematika
Rumus XXIII
Kita mengetahui bahwa
Rumus XXIV
Sehingga persamaan sebelumnya dapat kita ubah menjadi
Rumus XXV
Jika kita sesuaikan simbol hurufnya dengan rumus umumnya, kita akan mendapatkan
Rumus XXVI

Penutup
Jika kita menggabungkan kasus-kasus di atas, maka kita akan mendapatkan rumus umum untuk efek Doppler seperti yang di awal penulisan.

Efek Doppler pada Gelombang Elektromagnetik
Sejauh ini, kita hanya membahas efek Doppler pada gelombang mekanik, yaitu gelombang yang memerlukan medium dalam perambatannya. Namun, bagaimana dengan efek Doppler pada gelombang elektromagnetik? Cepat rambat dari gelombang elektromagnetik di ruang hampa adalah c, sekitar 3 x 10^8 m/s. Efek Doppler pada gelombang elektromagnetik tidak dipengaruhi oleh gerak pengamat. Artinya, kita tidak memberlakukan konsep gerak relatif. Misalnya, gelombang elektromagnetik merambat dengan kecepatan c dan pengamat bergerak mendekati sumber gelombang elektromagnetik dengan kecepatan 0,9c. Maka, cepat rambat gelombang elektromagnetik dari sudut pandang pengamat tetap c, bukan 1,9c. Jadi, rumus efek Doppler untuk gelombang elektromagnetik adalah
Rumus XXVII
Jika kecepatan gerak sumber gelombang sangat kecil dibandingkan cepat rambat gelombang, maka kita dapat melakukan pendekatan sebagai berikut
Rumus XXVIII
Dengan demikian, diperoleh
Rumus XXIX
Dari persamaan ini, diperoleh pergeseran frekuensi gelombang
Rumus XXX

Temperature Change Unit

Temperature change, that can be increase or decrease, is defined as the difference between final temperature and initial temperature. Hence, we have different rules when we deal with converting temperature change unit from them with only converting the temperature unit. To illustrate, an object which the initial temperature is 25°C is heated. After a minute, its temperature become 30°C. Our task is to find the temperature change in Fahrenheit unit.

Here is the step :
1. Convert the initial temperature into Fahnrenheit.
25°C = (25/5 x 9 + 32) °F = 77°F
2. Convert the final temperature into Fahrenheit.
30°C = (30/5 x 9 + 32) °F = 86°F
3. Subtract the final temperature by the initial temperature. The result shows the change of temperature in Fahrenheit unit.
86°F – 77°F = 9°F

Notice that we would have had a different result if we changed the way like the step below :
1. At first, substract the final temperature by the initial temperature.
30°C – 25°C = 5°C
2. Convert the result from step 1 into Fahrenheit unit. If you think it is the answer, IT IS WRONG.
5°C = (5/5 x 9 + 32) °F = 41°F

Once again, look at step 2 from the wrong way. If we don’t add 32 (just 5/5 x 9), we will have the right answer (9°F). In brief, when we deal with converting temperature change unit, we just look the ratio of each unit.
Celcius : Fahrenheit : Reamur : Kelvin = 5 : 9 : 4 : 5

For the example, the temperature of a particle rise 18°F. Find the temperature increase in Kelvin unit.
18°F = 18/9 x 5 = 10 K